Якщо n дорівнює 18, множниками є 1, 2, 3, 6, 9 і 18. Таким чином, підгрупи (Z18, +18) є (Z1, +1), (Z2, +2), (Z3, +3), (Z6, +6), (Z9, +9) і (Z18, +18).
Найпростіший спосіб визначити підгрупи – це взяти підмножину елементів, а потім знайти всі добутки степенів цих елементів. Отже, скажімо, у вашій групі є два елементи a,b, тоді вам потрібно розглянути всі рядки a,b, що дають 1,a,b,a2,ab,ba,b2,a3,aba,ba2,a2b,ab2 ,bab,b3,…
Група U(16) = {[1], [3], [5], [7], [9], [11], [13], [15]}; бінарна операція U(16) дорівнює 16. Нехай H = <[15]> = {[1], [15]}, циклічна підгрупа U(16), яка породжена [15]. H є нормальною підгрупою U(16), оскільки U(16) є абелевою групою.
Група U(8) = 11,3,5,7l є нециклічною, оскільки 11 = 32 = 52 = 72 = 1 (тому немає твірних). Єдиними правильними підгрупами є 11л, 11,3л, 11,5л та 11,7л, які всі, очевидно, є циклічними.
(a) Z15 містить підгрупи порядок 1, 3, 5 і 15, оскільки це дільники числа 15. Підгрупа порядку 1 є одиницею, а підгрупа порядку 15 — цілою групою. Останній результат говорить: якщо n ділить 15, то існує підгрупа порядку n — фактично унікальна підгрупа порядку n.