Дійсна частина результуючого поля A, A є розв’язком неоднорідного рівняння Гельмгольца (∇2 + k2) A = −f. де ƒ : Rп → C — функція з компактним носієм, n = 1, 2, 3.
Спочатку розглядається неоднорідне рівняння Гельмгольца (1) ∇ 2 ψ ( r ) + k ( r ) 2 ψ ( r ) = − S ( r ) , де представляє поле в позиції r ∈ R D , де D представляє розмірність проблеми.
Хвильова функція Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) представляє дійсний розв’язок рівняння Шредінгера. Хвильову функцію називають функцією вільної хвилі, оскільки вона представляє частинку, яка відчуває нульову сумарну силу (константа V).
Це диференціальне рівняння як у просторі, так і в часі, і коли використовується розділення змінних з ψ(x, t) = X(x)T(t), часто виникає рівняння Гельмгольца. А саме космічна частина часто задовольняє (∇2 + k2)X(x) = 0, де ∇2 – оператор Лапласа, а k – константа. Це рівняння Гельмгольца.
Лише f (x – ct) або g (x + ct) вирішує хвильове рівняння. Це означає, що якщо ми обираємо рішення лише з f (x – ct), воно описує хвилю довільної форми f (x), коли t = 0. Ця форма зберігається, хвиля рухається, але форма рухається вправо. зі швидкістю c.
Розв’язок неоднорідного рівняння Гельмгольца (41) ψ inc,Q ( x , ω ) = ∫ ℝ 3 G ( x − x ′ ) 1 ρ E Q ( x ′ , ω ) d x ′ = ∫ K Q G ( x − x ′ ) 1 ρ E Q ( x ′ , ω ) d x ′ .