2.1 Гомотопія. Основною проблемою теорії гомотопії є класифікація неперервних відображень до гомотопії. Дві безперервні карти з a
Топологічний простір – огляд | Теми ScienceDirect
X до Y гомотопні якщо одне може безперервно деформуватися в інше.Два гладких відображення f0 і f1 від N до M називаються гомотопними якщо існує гладке відображення F: N × I → M таке, що f0(P) = F(P, 0) і так що f1(P) = F(P, 1). Якщо f0 і f1 є гомотопними відображеннями від N до M, то f 1 * V ізоморфно f 2 * V .
Для двох топологічних просторів X і Y існує гомотопічна еквівалентність між X і Y пара неперервних відображень f : X → Y і g : Y → X, таких, що g ∘ f гомотопно тотожному відображенню idX, а f ∘ g гомотопно idY. Якщо така пара існує, то X і Y називаються гомотопічними еквівалентами або одного гомотопічного типу.
Два математичні об’єкти називаються гомотопними якщо одне може безперервно деформуватися в інше. Наприклад, дійсна пряма гомотопна одній точці, як і будь-яке дерево. Проте коло не стягується, а є гомотопним суцільному тору.
Твердження: постійні відображення f,g:X→Y, де f(x)=p і g(x)=q, є гомотопними тоді і тільки тоді, коли p і q знаходяться в одному компоненті шляху Y.
Доведіть, що два шляхи α, β: I → Rn гомотопні за шляхами тоді і тільки тоді, коли вони мають ту саму початкову та ту саму кінцеву точки. Якщо F : α ≃p β, то α(0) = F(t,0) = F(t,1) = β(0), аналогічно α(1) = β(1).