Зокрема, ми бачимо, що коваріаційна матриця є оборотною тоді і тільки тоді, коли всі власні значення відрізняються від нуля, або якщо ранг матриці дорівнює p. Кожну симетричну матрицю можна розкласти на добуток ортогональних матриць і (дійсної) діагональної матриці. 18 липня 2022 р.
Обернена коваріаційна матриця , якщо вона існує, є оберненою коваріаційною матрицею (або зворотна матриця концентрації), також відома як матриця точності (або матриця концентрації). Ця подвійність мотивує низку інших подвійностей між маргіналізацією та обумовленням гаусових випадкових величин.
Нехай x — випадковий вектор, елементи якого є i.i.d. Нехай A — будь-яка квадратна матриця, яка не має повного рангу. Потім коваріаційна матриця випадкового вектора y=Ax не є оборотною.
Дисперсійна коваріаційна матриця є завжди квадратні, симетричні та додатні напіввизначені. Загальна формула для представлення коваріаційної матриці така ⎥ ⎥⎦ [ V a r ( x 1 ) . . . C o v ( x 1 , x n ) : . : : . : C o v ( x n , x 1 ) . . .
А . Не всі матриці 2 × 2 мають обернену матрицю. Якщо визначник матриці дорівнює нулю, то вона не матиме зворотного; тоді матриця називається сингулярною. Тільки неособливі матриці мають обернені.
Коваріація коливається від негативних до позитивних значень. Позитивна коваріація вказує на те, що дві змінні мають тенденцію рухатися разом, і з однаковим знаком, негативна коваріація вказує на те, що дві змінні мають тенденцію рухатися в протилежному напрямку.