Простір
Підмножина S метричного простору (M, d) є обмеженою, якщо існує r > 0 таке, що для всіх s і t у S маємо d(s, t) < r. Метричний простір (M, d) є обмеженим метричним простором (або d є обмеженою метрикою), якщо M є обмеженою як підмножина самого себе.
неперервні функції на Rп позначається C = C(Rп). Це банаховий простір за верхньою нормою f → ||f||∞ = supf(x). (4.2) ω r ( f , t ) p = sup | ч | ≤ t ‖ Δ h r f ‖ p , ( f ∈ L p , t > 0 ) .
Простір усіх абсолютно неперервних функцій u : I → R позначається через AC (I). Зауваження 3.2. Зауважте, що оскільки l довільне, ми також можемо взяти l = ∞, а саме замінити кінцеві суми рядами. ACloc ([a, b]) = AC ([a, b]).
За теоремою обмеженості кожна неперервна функція на замкнутому інтервалі, наприклад f : [0, 1] → R, є обмеженою. Більш загально, будь-яка неперервна функція з компактного простору в метричний простір є обмеженою.
Загальна топологія – Простір обмежених безперервних функцій нероздільний – Обмін математичними стеками.
Неперервна дійсна функція на просторі X є неперервна функція з X в IR зі звичайною топологією. Ми використовуємо позначення C(X) для позначення набору дійсних неперервних функцій у просторі X.
Наприклад, простір усіх неперервних функцій, визначених на [0,1], є не є гільбертовим простором оскільки він не містить тотожності паралелограма.