Знову ж таки, оскільки ϕ неперервний на компакті [−M,M], він має бути обмеженим на [−M,M]. Отже, існує постійна Mϕ така, що |ϕ(y)| ≤ Mϕ для всіх |y| ≤ М. (1) Якщо α строго зростає, то ми знаємо, що інтегровність передбачає обмеженість.
і називається «інтегралом від a до b від f». Зауважте, що за нашим визначенням інтегровна функція обов'язково обмежена. af = α({(x, y):a ≤ x ≤ b і 0 ≤ y ≤ f(x)}).
Отже, неможливо довести, що кожна проста функція інтегровна за Ріманом. Зауважте, що f(x) не є безперервним у жодній точці [0,1], але що f=0 майже всюди. Обмежені функції на [0,1] інтегровні за Ріманом тоді і тільки тоді, коли вони неперервні майже всюди. Це f називається функцією Діріхле.
Кожна неперервна функція інтегровна, але є інтегровні функції, які не є неперервними.
Метричний простір є повністю обмеженим тоді і тільки тоді, коли кожна послідовність, взята з цього простору, має підпослідовність Коші.
Так, щоб інтеграли були локально інтегровними, вони повинні бути скінченними. Один із способів побачити, що f є локально інтегровною, полягає в тому, що f(x)≥0, і ми можемо використати p-тест для збіжності з числення, наприклад, щоб показати, що ∫Af(x)dx<∞ для будь-якої обмеженої множини A⊂ R, який містить 0.